计算机辅助拓扑设计
传统CAGD侧重于几何外形设计与处理，缺乏用于理解和控制三维模型拓扑结构的系统方法论。随着建模技术应用范围的扩大，几何设计与处理中涉及拓扑理解和控制的挑战日益突出。本课程面向对几何建模中拓扑理解和拓扑控制，以及计算拓扑、拓扑数据分析和拓扑深度学习感兴趣的教师、学生和企业同行开设，学习前只需具备微积分和线性代数相关基础；课程旨在帮助学员了解几何模型的拓扑理解和拓扑控制系统理论和方法，以及计算拓扑、拓扑数据分析等领域的基本概念、主要方法、和开源软件。课程总时长3小时，分为4节课并包含答疑环节。
第1课：计算拓扑基本概念 蔺宏伟 7月28日 08:40-09:25
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目标： 理解计算拓扑的基本概念，掌握同调群的意义和计算方法，了解如何利用拓扑方法进行数据处理，以及计算拓扑对于几何设计中拓扑理解和控制的系统处理方法。 内容： (1) 计算拓扑简介：计算拓扑融合拓扑学、几何算法与数值计算，以持续同调为核心理论基础，通过离散剖分、代数建模与矩阵运算，实现几何模型、点云数据拓扑特征的自动提取、量化分析与定量度量。它兼顾拓扑稳定性与算法可实现性，衍生出拓扑代表元求解、拓扑理解、拓扑控制及拓扑深度学习等应用方向，为网格处理、几何建模、形状分析与智能数据挖掘提供了全新的拓扑驱动研究范式。 (2) 流形、复形、同调：流形是局部与欧氏空间同胚的拓扑空间，能够刻画曲线、曲面及高维几何形体；复形通过单形规则拼接实现几何空间的离散剖分，为拓扑结构代数化提供载体；同调理论则依托复形结构，提取空间连通性、孔洞等拓扑不变特征，实现复杂几何形体拓扑性质的定量表征。 (3) 链复形与同调群：链复形由不同维数的链群与边缘算子构成有序序列，满足边缘算子复合为零的基本性质，搭建起几何结构到代数结构的映射关系。基于链复形可定义闭链群与边缘链群，通过二者商运算构造同调群，同调群作为拓扑不变量，可有效表征空间各维数孔洞数量与整体拓扑构型。 (4) 同调群的计算：同调群的计算核心思想是将几何拓扑问题转化为纯代数问题求解。先对拓扑空间进行单纯复形或 CW 胞腔剖分，把连续几何结构离散化为链复形；再通过边缘算子建立矩阵表示，将求同调群转化为闭链群和边缘链群做商的代数运算。
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第2课：持续同调的计算和加速方法 高德朋 7月28日 09:30-10:15 |
目标： 理解计算拓扑的核心概念持续同调，掌握持续同调的计算方法和加速技术，了解计算拓扑领域大量开源库的基本情况。 内容： (1) 持续同调理论：持续同调是拓扑数据分析的核心理论，依托同调思想追踪多尺度拓扑空间中连通分支、环、孔洞等拓扑特征随尺度参数的生灭演化过程，通过持续条形码、持续图定量刻画拓扑结构的稳定性与鲁棒性，实现复杂几何形体内在拓扑特征的量化提取。 (2)基于矩阵的计算方法：基于矩阵的计算方法将持续同调求解过程完全代数化，通过对复形构建边界矩阵，借助矩阵约化等线性代数手段，计算不同维数同调类的诞生与消亡时刻，把拓扑求解问题转化为标准矩阵运算问题，是持续同调数值计算的基础实现框架。 (3) 拓展算法：在传统矩阵计算基础上发展出各类拓展优化算法，包含谱方法、快速约化算法、分治与稀疏加速算法等，针对大规模点云、高维复杂模型优化计算复杂度，降低存储与运算开销，同时适配流形、网格曲面等工程几何模型的拓扑分析需求。 (4) 开源计算工具库：现有多款成熟开源计算拓扑工具库，集成了持续同调求解、复形构建、矩阵约化及可视化全套功能，可直接实现点云与网格模型的拓扑特征提取、条形码绘制及 Betti 数计算，为几何设计、网格处理、拓扑数据分析等研究提供便捷可靠的工程化调用接口。
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第3课：持续同调的距离计算、稳定性和向量化 高德朋 7月28日 10:20-11:05 |
目标： 理解持续同调稳定性的理论和意义，掌握持续图距离计算方法和向量化方法。 内容： (1) 持续图的距离计算：通过定义持续图之间的度量距离，量化不同拓扑特征集合的差异程度，常用Wasserstein 距离、bottleneck距离实现拓扑结构相似度定量比对，为模型对比、分类检索提供度量依据。 (2)持续同调的稳定性：持续同调具备良好的拓扑稳定性，输入点云或几何模型受到微小扰动时，其持续图仅发生有界变化，拓扑特征的生灭结构保持稳健，保障了拓扑分析在实际噪声场景下的有效性与可靠性。 (3) 持续图的向量化：将无序的持续图拓扑特征映射为固定维度数值向量，把拓扑结构转化为可机器学习处理的特征表达，便于对接分类、聚类、回归等智能算法，实现拓扑特征的工程化应用与数据挖掘。
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第4课：基于计算拓扑的拓扑理解和拓扑控制 蔺宏伟 7月28日 11:10-11:55 |
目标： 理解拓扑代表元基本概念，了解拓扑深度学习基本流程，掌握基于持续图的优化、和几何模型的拓扑理解和拓扑控制系统方法。 内容： (1)拓扑代表元：拓扑代表元是同调群中各类环路、孔洞、空腔等拓扑结构的典型几何表征，可从复形与持续同调结果中提取出具有实际几何意义的曲线、环路与孔洞边界，实现抽象拓扑量到具体几何形体的映射。 (2) 基于持续图的优化：以持续图作为拓扑特征载体，通过约束持续图分布、匹配拓扑特征生命周期，对几何模型开展拓扑简化、去噪与结构优化，在保持主体拓扑特征的同时剔除冗余细小孔洞等拓扑噪声。 (3) 拓扑理解：从几何形体的连通性、分支结构、多尺度孔洞分布出发，借助同调与持续同调完成内在拓扑规律解析，实现对复杂模型全局结构、局部特征与层次拓扑关系的定性与定量认知。 (4) 拓扑控制：在几何建模与网格处理过程中，主动约束和调控模型的拓扑类型、孔洞数量及连通结构，按照设计需求保留或删减拓扑特征，实现几何形体拓扑形态的可控生成与编辑。 (5)拓扑深度学习：将持续同调等拓扑特征作为网络输入，结合深度学习框架构建拓扑感知学习模型，融合几何信息与拓扑先验，提升点云、网格等复杂几何数据的分类、分割与重建效果。
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蔺宏伟 浙江大学 （课程组织者）
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教师简介： 蔺宏伟，教授，博士生导师。1996年于浙江大学应用数学系获学士学位，2004年于浙江大学数学系获博士学位。自2004年至今，在浙江大学数学科学学院及CAD&CG国家重点实验室工作。主持或参与国家自然科学基金、重点研发计划等项目若干项。近年来，从事计算机辅助几何设计、计算机辅助拓扑设计、量子图形学等方面的研究工作，发表或录用论文百余篇。曾获得陆增镛CAD&CG高科技一等奖、国家自然科学奖二等奖、EPSON Award for Outstanding Oversea Researcher等学术荣誉。 |
高德朋 中国船舶集团海舟系统公司
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教师简介： 高德朋，本科毕业于哈尔滨工业大学计算数学专业，直接攻博于浙江大学应用数学专业，研究计算机辅助几何设计与计算机辅助拓扑设计，在国内外著名期刊如CAD、C&G等期刊发表多篇论文。现就职于中国船舶集团海舟系统技术有限公司。 |
